Από τότε που ο Lukasievicz διερεύνησε συστήματα πολλαπλής τιμής είναι, θα έλεγε κανείς, κοινός τόπος, οτι η τροπική λογική μπορεί να θεμελιωθεί πολύσθενα. Γενικά παραδεκτό είναι εξ άλλου ότι το σύστημα αποφαντικών συλλογισμών επιτρέπει μόνο δίσθενη παράσταση, όχι πολύσθενη, ειδ΄ άλλως παραβιάζονται οι αρχές της αντίφασης και του αποκλειομένου τρίτου. "Αν τώρα η πολύσθενη παράσταση ταυτιστεί με την οριακή της δισθενής, δηλ. την τρισθενή, δεν αποκλείεται στην πράξη να είναι συναρτητή με αντιφατικά ενάντιες κρίσεις μία και η αυτή τιμή, η τρίτη. Αλλ΄ όταν οριστεί μία τέτοια τρίτη τιμή, ας υποθέσουμε η λεγόμενη ουδέτερη, στην αποφαντική λογική, συμβαίνει να συμπίπτουν οι τιμές των «α»- και «ο»- ή των «ε»- και «ι»- κρίσεων αυτό αρκεί να πιστοποιήσει την ακαταλληλότητα του τρίσθενου σχήματος για τη θεμελίωση της αποφαντικής συλλογιστικής. Στην περίπτωση της τρισθενής παράστασης προκύπτει λόγου χάριν ο ακόλουθος πίνακας για την άρνηση: Κάθε Σ είναι Π : αληθής, ουδέτερη, ψευδής Μερικά Σ δεν είναι Π: ψευδής, ουδέτερη, αληθής. Ο λόγος που ο ανωτέρω πίνακας δεν προσφέρεται για την παράσταση της αντιφατικής εναντιότητας αποφαντικών κρίσεων είναι, ότι τέτοιες προτάσεις δεν μπορούν να έχουν ταυτόχρονα την ίδια τιμή, αφού η αντιφατική εναντιότητα αντιστοιχεί με τη σχέση αντίθεσης σθένους (αποκλείουσας διάζευξης) των αποφάνσεων. "Αν πάλι σαν άρνηση της ουδέτερης τιμής αποδοθεί όχι αυτή η ίδια αλλ΄ η τιμή «αληθής» —όπως στον πίνακα που ακολουθεί— Κάθε Σ είναι Π : αληθής, ουδέτερη, ψευδής Μερικά Σ δεν είναι Π: ψευδής, αληθής, αληθής. (Αληθής είναι άρνηση και της ουδ. Και της ψ.) εκπίπτει η διάκριση: ουδέτερη — ψευδής. Το ίδιο ισχύει και για τον πίνακα, που συντάσσεται με άρνηση της ουδέτερης τιμής, την ψευδή: Κάθε Σ είναι Π : αληθής, ουδέτερη, ψευδής Μερικά Σ δεν είναι Π: ψευδής είναι άρνηση, ψευδής, και της αλ. και της ουδ., αληθής Προκειμένου λοιπόν να διατηρήσει η τρίτη τιμή την ιδιαίτερη λειτουργικότητά της, να διαφοροποιηθεί δηλ. η άρνηση από τις δύο «κλασικές» τιμές, πρέπει να αναιρεθεί η τρίτη τιμή με τον εαυτό της, πράγμα αδύνατο στο σύστημα της αποφαντικής συλλογιστικής. Σ΄ ένα σύστημα τετραπλής τιμής είναι παρ' ολ' αυτά και η αποφαντική συλλογιστική παραστατή. Σχετικά με το πρόβλημα της μετάφρασης των όρων όλη και επί τι αληθής ή επί τι ψευδής υποστηρίζεται ότι, εφόσον πρόκειται για «ποσοτικά συντασσόμενες τιμές αλήθειας» (πρβλ. Wieland, Probleme der aristotelischen Theorie über Schlüße aus falschen Prämissen, AGPh 58/1976, 3), πρέπει να αποδοθούν: όλη = γενικά (καθόλου) και όχι συνολικά, επι τι = ειδικά και όχι μερικά. Σύμφωνα με τις τελευταίες συμβολές στο θέμα της πολυσθένειας (Rutz, Sinowjew - Wessel, U. Blau) διαφοροποιούνται λειτουργικά oι έννοιες της βασικής και της παράγωγης τιμής και τονίζεται ότι στην περιοχή της παράγωγης μπορούν να παρουσιάζονται πολλές τιμές, που ανάγονται όμως πάλι σε δυο θεμελιώδεις τιμές. Στα Αναλυτικά Πρότερα Β 2-5 απαντάμε πραγματικά χωρία, που μπορεί κανείς με αναλογία να ερμηνεύσει χρησιμοποιώντας τις έννοιες που αναφέρθηκαν. Ο Αριστοτέλης, όπως προκύπτει από τη σημαντική του κειμένου, εφαρμόζει, χωρίς όμως να τη θεματοποιεί, μια διχοτόμηση των βασικών τιμών κατά το ακόλουθο σχήμα: Απλώς αληθής: όλη αληθής (γενικά αληθής) , επί της αληθής (ειδικά αληθής) Απλώς ψευδής: επί τι ψευδής (ειδικά ψευδής), όλη ψευδής (γενικά ψευδής) Με αναφορά σ΄ αυτήν τη διχοτόμηση παριστάνεται η θεωρία εναντιότητας των αποφαντικών κρίσεων, δηλ. με τις «α»-, «ε»-, «ι»-, «ο»- κρίσεις συντάσσονται οι τιμές γενικά αληθής, γενικά ψευδής, ειδικά αληθής, ειδικά ψευδής αντί για τις τιμές ληθής, ψευδής, και με προϋπόθεση αυτές τις συναρτήσεις αναλύονται οι σχέσεις εναντιότητας. Τα συμπεράσματα αυτής της ανάλυσης εκτίθενται στα εξής: 1. Οι σχέσεις εναντιότητας, που είναι απροσδιόριστες στο τετράγωνο δισθενής απεικόνισης, μετατρέπονται σε επιλέξιμες με τον τρόπο πού ακολουθεί: Ενώ από μια ψευδή γενική πρόταση δεν παράγονται οι τιμές της ενάντιας ούτε της υπάλληλης, μπορεί να αποδειχθεί ότι σ΄ ένα τετράσθενο σχήμα: Η άρνηση μιας απόφανσης γενικού ψεύδους (όλη ψευδής) είναι πάντοτε μία γενικά αληθής πρόταση αντίθετης ποιότητας, και από την άρνηση μιας γενικής πρότασης γενικής αλήθειας (όλη αληθής) προ-κύπτει μια απόφανση όχι απλά αντιφατικά ψευδής άλλα και ενάντια αντίθετου ποιου, δηλ. την άρνηση ακολουθεί μια κρίση γενικά ψευδής. Από την «α» γενικά ψευδή «όλοι οί άνθρωποι είναι λίθοι» προκύπτει η γενικά αληθής πρόταση «κανείς άνθρωπος (δεν) είναι λίθος» και αντίστροφα, τη γενική αλήθεια μιας γενικής πρότασης ακολουθεί το γενικό ψευδός της γενικής πρότασης αντίθετης ποιότητας. Από μία γενική πρόταση ειδικά ψευδή (επί τι ψευδής) προκύπτει η ειδική αλήθεια, ποτέ όμως η γενική αλήθεια της αντιφατικής, γιατί η γενική απαλλάσσουσα πρόταση δεν μπορεί να είναι ποτέ αληθής, όταν η άρνησή της είναι ειδικά ψευδής. Από την άρνηση της ειδικά ψευδούς «α»- πρότασης «όλοι οι άνθρωποι είναι άσπροι» προκύπτει λόγου χάρη η ειδικά αληθής (επί τι αληθής) «ο»- πρόταση «μερικοί άνθρωποι είναι οχι άσπροι». Δεν προκύπτει όμως η αντίστοιχη γενική επαλλάσσουσα, που θα ήταν κατ΄ ανάγκη γενικά αληθής. Η άρνηση μιας γενικής πρότασης ειδικά ψευδούς είναι μ΄ άλλα λόγια πάντοτε (σ΄όλες τις δυνατές περιπτώσεις) μία αυστηρά ειδική πρόταση αντίθετης ποιότητας. Ή άρνηση μιας ειδικής πρότασης ειδικής αλήθειας είναι πάντοτε μια γενική πρόταση αντίθετου ποιου ειδικά ψευδής, σε καμιά περίπτωση όμως γενικά ψευδής. Από την ειδικά αληθή «μερικοί μόνο άνθρωποι είναι άσπροι» προκύπτει π.χ. η γενική πρόταση ειδικού ψεύδους «κανείς άνθρωπος (δεν) είναι άσπρος»· ή αντίστοιχη υπάλληλη απόφανση είναι όμως αληθής, ή ειδικά αληθής. 2. Μπορεί κανείς να ερμηνεύσει τις ειδικά αληθείς «ι»- και «ο»- κρίσεις ως αυστηρά ειδικές΄ μ΄ αυτή την ερμηνεία γίνονται πάντοτε αληθείς οσάκις όμως με γενικεύουσα επαλλαγή μετασχηματίζονται σε «α»- ή «ε»- κρίσεις, προκύπτουν κρίσεις πάντοτε ειδικά ψευδείς. Παράδειγμα: «Μερικοί μόνο άνθρωποι είναι ξανθοί» (— ειδικά αληθής), γιατί η κατηγόρηση συντάσσεται κατ΄ αλήθεια μόνο όταν αποδοθεί ειδικά. Αν η παραπάνω κρίση μετασχηματισθεί με εφαρμογή της λειτουργίας της γενικεύουσας επαλλαγής σε «α»- κρίση, προκύπτει ή «α»- κρίση ειδικά ψευδής: «Όλοι οι άνθρωποι είναι ξανθοί». Αν η κατηγόρηση συντάσσεται και στη μορφή ειδικής κρίσης και στη μορφή γενικής κρίσης ίδιας ποιότητας κατ΄ αλήθεια, είναι ειδική και γενική κρίση μιας και της αυτής ποιότητας γενικά αληθείς. Παράδειγμα: η πρόταση «Μερικοί άνθρωποι είναι ζώα» είναι γενικά αληθής, γιατί η κατηγόρηση των ίδιων όρων σε μορφή γενικής κρίσης παραμένει αληθής. 3. Καταδεικνύεται τέλος ότι ο ορισμός της τετρασθένειας επιτρέπει διεύρυνση των ορίων επιλογών, που προβλέπει το κλασικό τετράγωνο διπλής τιμής, και συγχρόνως δεν δημιουργεί αντιφατικές σχέσεις. Αυτό σημαίνει ότι το τετράσθενο σχήμα μόνο με ορισμένες προϋποθέσεις ανάγεται στο δίσθενο, οσάκις δηλ. μπορεί να αποδειχθεί, ότι η γενική και η ειδική αλήθεια ή το γενικό και τ ειδικό ψευδός προέρχεται από τη διχοτόμηση της αλήθειας και του ψεύδους. Κύριες ή ισχύουσες τιμές θεωρούνται οι «γενικά αληθής» και «ειδικά αληθής», δευτερεύουσες ή αποφατικές οι «γενικά ψευδής» και «ειδικά ψευδής». (Πρβλ. Sinowjew - Wessel, Logische Sprachregeln, σελ. 143-179, σχετικά με τις θεμελιώδεις και παράγωγες ή τις ισχύουσες και αποφάσκουσες τιμές αλήθειας). Η εισαγωγή του τετράσθενου σχήματος, που προκύπτει από τη διχοτόμηση της αλήθειας σε γενικά και ειδικά αληθές και του ψεύδους σε γενικά και ειδικά ψευδές, επιτρέπει σύμφωνα με τα λεχθέντα να μετατραπούν οι σχέσεις εναντιότητας, που στο δίσθενο σχήμα μένουν απροσδιόριστες, σε σχέσεις επιλέξιμες. Η πολύσθενη θεμελίωση θα έπρεπε κατά συνέπεια να ερευνηθεί και για το σύστημα των κατηγορικών συλλογισμών.
Academy of Athens
