The Constants of Nature. A study in the Early History of Natural Law

 

This item is provided by the institution :
Academy of Athens

Repository :
Research Centre for Greek Philosophy

see the original item page
in the repository's web site and access all digital files of the item*
use
the file or the thumbnail according to the license:
CC BY-NC-SA 4.0

Attribution-NonCommercial-ShareAlike
share





From Military junta (EN)
Regime change (EN)

1974 (EN)
The Constants of Nature. A study in the Early History of Natural Law

Maula, Erkka

Στην μελέτη αυτή γίνεται προσπάθεια να δειχθή, ότι όλες οι αστρονομικές παραμέτροι, που είναι γνωστές είτε επακριβώς είτε κατ’ αρχήν από την παράδοση του Ευδόξου και που χαρακτηρίζουν τη θεωρία του για τις ομόκεντρες σφαίρες, μπορούν να εξαχθούν όταν βρεθή τρόπος να μελετηθούν με μια γενικευμένη αναλογία του τύπου: (30) xy: (x ± y) = n Tcomb : n. Εδώ x,y είναι δύο πλανητικές περίοδοι (από τις οποίες η μια είναι γνωστή η παραδεδεγμένη ως αξίωμα εκ των προτέρων), n είναι θετικός ακέραιος ή θετικός ρητός κλασματικός αριθμός, απαραίτητος στη γενίκευση (πρβλ. Ευκλ. V – 15), και Tcomb είναι η συνοδική ή αστρική περίοδος ενός πλανήτη, γνωστή προκαταβολικώς από την παρατήρηση. Το κύριο μέρος του άρθρου πραγματεύεται την ανακατασκευή της μεθόδου του Ευδόξου, η οποία, όταν εφαρμοσθή στα πλανητικά από παρατηρήσεις δεδομένα («για να σωθούν τα φαινόμενα»), δίνει τις αστρονομικές τιμές των παραμέτρων. Σ’ αυτές περιλαμβάνονται και πραγματικές, εμπειρικές τιμές (μερικές από τις οποίες είναι μάλλον ακριβείς και άλλες τελείως πλασματικές). Η επιτυχία της ανακατασκευή μπορεί να κριθή από το ότι μπορούν να εξαχθούν ακόμα και οι πλασματικές τιμές, όπως π.χ. η απόκλιση της τρίτης σφαίρας του Ηλίου. Οι κύριο τύποι τιμών παραμέτρων που εξήχθησαν είναι οι πλανητικές περίοδοι (π.χ. Τind ii = η περίοδος της ατομικής κινήσεως της δεύτερης σφαίρας ενός πλανήτη, Tcomb ii = η περίοδος συνδιασμένης κινήσεως της δεύτερης σφαίρας ενός πλανήτη κλπ.), οι φορές των σφαιρικών περιστροφών (π.χ. Dind iv (w) = η ατομική κίνηση της τέταρτης σφαίρας ενός πλανήτη προς δυσμάς, κλπ.), οι αποκλίσεις των σφαιρικών αξόνων και, αυτό που μπορεί να συναχθή απ’ αυτές, οι μέγιστες παρεκκλίσεις της σφαίρας ενός πλανήτη από την ισημερινό (όπου περιλαμβάνεται και η τιμή της λοξότητας της εκλειπτικής του Ευδόξου) και από την εκλειπτική. Η μέθοδος του Ευδόξου που ανακατασκευάσαμε βασίζεται ουσιαστικά στα πυθαγορικά Μαθηματικά· καταβάλαμε προσπάθειες να δείξωμε ότι μπορεί να υποστηριχθή με προτάσεις, που ανήκουν στην γνωστή συμβολή του Ευδόξου στα Στοιχεία. Η μέθοδος αποτελείται από δύο μέρη: μια ανάλυση και μια σύνθεση. Επειδή η σημασία του Ευδόξου αναγνωρίζεται από όλους σχεδόν τους μεταγενέστερους οπαδούς της μαθηματικής ανάλυσης (για περισσότερες λεπτομέρειες βλέπε το άρθρο μου The Elements of Analysis, «Proceedings of the XIV International Congress of the History of Science», Tokyo/Kyoto, 1974), και επειδή η μέθοδος του Ευδόξου επηρέασε τη σύγχρονη φιλοσοφική ανάλυση και σύνθεση σε μεγάλη έκταση, η ανακατασκευή μπορεί να παρουσιάζη κάποιο ενδιαφέρον για τον ιστορικό και το φιλόσοφο των θετικών επιστημών. Ακόμα, μπορεί να διαφωτίση τη λογική της επιστημονικής ανακάλυψης. Στο κέντρο της μεθόδου που ανακατασκευάσαμε (και πού από την αλγεβρική άποψη συζητείται στο παράρτημα του άρθρου) βρίσκεται ένα πυθαγορικό τρίγωνο για κάθε περίπτωση, διαφορετικό για κάθε πλανήτη. Οι πλευρές του παράγονται από δύο σχετικώς πρώτους άνισους ακεραίους αριθμούς p, q με το συνηθισμένο τρόπο, και το ίδιο το τρίγωνο έχει το ρόλο βοηθητικού σχεδίου σε μια γεωμετρική απόδειξη. Τόσο η βοηθητική παράμετρος n όσο και η λύση στον τύπο (30) μπορούν να δοθούν σε συνάρτηση προς το τρίγωνο αυτό, και οι γωνίες του καθορίζουν τις αξονικές αποκλίσεις και τις μέγιστες παρεκκλίσεις. Οι λύσεις στο (30) είναι αμετάβλητες αναφορικά προς το p,q (τα οποία μπορούν να ονομασθούν «οι μαθηματικές σταθερές της φύσεως») και μπορούν να εξαχθούν με τον τύπο: x/y = p/q με κάθε περίπτωση. Η λύση συνεπάγεται την εφαπτομένη (= αναλογία του γνώμονος προς τη σκιά του) των γωνιών απόκλισης, π.χ. I και μέγιστη (τιμή) παρέκκλισης π.χ. α. Υποδηλώνει ακόμα, στην πραγματικότητα, τα κύρια χαρακτηριστικά του αστρονομικού οργάνου (αράχνη), που χρησιμοποίησε ο Εύδοξος για να μετρήση γωνιακές αποστάσεις, κι ακόμη το αντίστροφο του p/q= tan a/2 ή = tan i/2 (βλ. Ευκλ. ΙΙΙ 18, VI 3), που οδηγεί στη θεωρία της στερεογραφικής προβολής, πρόσφορη για τον υπολογισμό γωνιακών ταχυτήτων, που παραφράζονται σε συνάρτηση προς τις περιόδους στο (30). Ωστόσο οι περαιτέρω αυτές συνέπειες της ανασύνθεσης θα συζητηθούν αλλού. Αρκεί προς το παρόν να πούμε ότι η μέθοδος του Ευδόξου μπορεί να νοηθή ως γεωμετρική ερμηνεία του χρόνου και ότι η κύρια «ευρετική» βοήθεια του υπήρξε η πυθαγόρεια ανάλυση των αριθμών. Ο πίνακας των σημαντικωτέρων παραμετρικών τιμών εξηγείται στο κεφ. 9. Θα φανή έτσι ότι πράγματι ημερολογιακά ζητήματα έπαιξαν ένα ρόλο στη θεωρία των εμπειρικών δεδομένων του Ευδόξου και ότι οι κατασκευές με βάση την ιπποπέδη είχαν στην πραγματικότητα σκοπό να περιγράψουν κατά προσέγγιση (ή εξιδανικευμένα) τις προσιτές στην παρατήρηση πλανητικές κινήσεις. Πρέπει όμως να ήταν κάπως συγκλονιστικό για τον Εύδοξο και τους οπαδούς του να ανακαλύψουν ότι μια και η αυτή μέθοδος υπολογισμού εξάγει πράγματι παραμετρικές τιμές που ήταν αρκετά γνωστές από το παρελθόν. Και ο τύπος (1) πρέπει να φάνηκε ως ανακάλυψη ενός νόμου της φύσεως, ενός νόμου, που αν και απλός δείχνει εν τούτοις με μια «οικονομική» ερμηνεία τις σταθερές της φύσεως. Το εσωτερικό κάλλος του συστήματος του Ευδόξου, εντυπωσιακό ακόμη και στην αδρομερή σκιαγραφία που επιχειρήσαμε στο άρθρο αυτό, η απλότητα των μαθηματικών εργαλείων, η υπερβολική φειδώ των εξηγητέων όρων και η μεγαλοφυής ερμηνεία, σε αντιδιαστολή με το πλήθος των φαινομένων που εξηγεί, πρέπει ανεπιφύλακτα να εγγραφή στο ενεργητικό της μεγαλοφυίας του Ευδόξου. Η λύση του στο κοσμολογικό πρόβλημα χαρακτηρίζεται από ένα ισχυρό μεθοδολογικό μονισμό, στον οποίο πιθανώς αναφέρεται ο Φίλιππος ο Οπούντιος στην Επινομίδα (991 e – 992 e). Ο Εύδοξος εξακολούθησε ενεργώς τις μελέτες του στην Κνίδο ως το τέλος της ζωής του. Ο Στράβων (c 119), ακολουθώντας τον Ποσειδώνιο, αναφέρει ότι παρατήρησε την Κάνωπο (α Carinae). Τούτο προφανώς συνδέεται με την προσπάθειά του να υπολογίση τη διάμετρο της Γής. Αλλά τα μαθηματικά θεμέλια της Ελληνικής Αστρονομίας (και της δικής μας) ετέθησαν όσο πιο ισχυρά γινόταν για τον Εύδοξο με τη θεωρία του των ομοκέντρων σφαιρών. Όταν θεωρήση κανείς τη θεωρία των ομοκέντρων σφαιρών του Ευδόξου ως σύνολο, παρατηρεί την εντυπωσιακή διαφορά του γεωμετρικού προτύπου από τη φυσική πραγματικότητα. Όχι μόνο αυτό αλλά και το γεωμετρικό πλαίσιο είναι ανεπαρκές, όταν έχη να κάνη κανείς με τον υπολογισμό γωνιακών ταχυτήτων και με τα κατά προσέγγιση επιτευχθέντα αποτελέσματα. Το πρότυπο, αν και κινηματικό, απέχει πολύ από το νεώτερο ιδανικό των φυσικών προτύπων, που προσπαθούν να διατηρήσουν τη δυνατότητα επαλήθευσης (ελέγχου) σε οποιονδήποτε χρόνο. Το πρότυπο του Ευδόξου όμως «έσωσε» ένα σταθερό αριθμό φαινομένων σε δεδομένο χρόνο και είχε προφητική αξία στην περίπτωση κάθε πλανήτη μόνο σε δεδομένο χρόνο, δηλαδή στο χρονικό σημείο όπου η μέγιστη παρέκκλιση ενός πλανήτη ήταν δυνατόν να παρατηρηθή. Πάντως αναφορικά με αυτά τα «σωθέντα φαινόμενα» το πρότυπο ανταποκρίνεται πλήρως προς την πραγματικότητα. Η γλώσσα της θεωρίας του Ευδόξου εκθέται την ιδέα του λογικού ή «σημαντικού» ατομισμού σε ωρισμένους σταθερούς χρόνους. Μπορεί κανείς να καταλάβη την άποψη αυτή για την γλώσσα σε σύγκριση με σύγχρονες θεωρίες «Σημαντικής» στην ελληνική φιλοσοφία (πρβλ. The Semantics of Time in Plato’s Timaeus, «Acta Academiae Aboensis», vol.38, No 3, 1970). Για τους Πυθαγόρειους το όλο σύμπαν είναι πλήρες αριθμών (πρβλ. Άριστ. Μεταφ. 1090 a 20 επ.), αλλά ήδη για τον Αριστοτέλη τα περιεχόμενα και των δύο «κουτιών», που το ένα περιέχει τη γλώσσα και τα γλωσσικά πρότυπα και το άλλο την πραγματικότητα, είναι διαφορετικά. Μπορούμε σχεδόν να ψηλαφίσωμε τα σημεία της διαφοράς. Στο Περί ουρανού ο Αριστοτέλης συζητά τη δυνατότητα της κίνησης των άστρων και της τροχιάς τους ανεξάρτητα από τη μεταξύ τους σχέση, ενώ μέχρι τότε ένας πλανήτης και η σφαίρα του σχημάτιζαν ενότητα, ένα φυσικό σώμα, θα λέγαμε. Αλλά και αν ακόμα δεχθούμε αυτή την κάπως άσχετη ιδέα των φυσικών σωμάτων, γεγονός παραμένει ότι το πρότυπο του Ευδόξου βρισκόταν σε πλήρη ανταπόκριση με την πραγματικότητα μόνο σε δεδομένους χρόνους. Γιατί βεβαίως κανένα φυσικό σώμα δεν μπορεί να περιστρέφεται πάνω σε τρείς ή τέσσερις σφαίρες με διαφορετικές ακτίνες συγχρόνως. Και είχαν πράγματι διαφορετικές ακτίνες, όπως σαφώς προϋποθέτει ο Αριστοτέλης (παρά τους διαφορετικούς ισχυρισμούς νεωτέρων σχολιαστών), γιατί αυτό είναι ουσιώδες, όταν γίνεται χρήση στερεογραφικών προβολών στον υπολογισμό των γωνιακών ταχυτήτων. Εν τούτοις η «στιγμιαία» συμφωνία του προτύπου του Ευδόξου με τα «σωθέντα φαινόμενα», όπως επίσης και η εντυπωσιακά συγκεκριμένη μέθοδός του ανάλυσης (η εν όψει και των αποτελεσμάτων του Αrbad Szabó αναφορικά με τις απαρχές των όρων απόδειξις και δείξις, θα έπρεπε να πούμε η οπτική μέθοδος ανάλυσης του Ευδόξου) είναι εξαιρετικά αποτελεσματικά θεωρητικά εργαλεία. Είναι συνεπώς μεγάλη η χαρά μου που μπορώ να κλείσω το άρθρο αυτό επισημαίνοντας ότι η στάση προς τα πρότυπα και τη συμφωνία τους με την πραγματικότητα ήταν ακριβώς του τύπου, που εθεωρείτο αναγκαίους στην Ακαδημία του Πλάτωνος (πρβλ. Αριστ. Μεταφ. 999 a). Γιατί η «υπόθεση εργασίας» μου στο άρθρο αυτό ήταν ακριβώς ότι ο Πλάτων στον Τίμαιο χρησιμοποιεί τη θεωρία του Ευδόξου ως πλάισιο αναφοράς για την αποσπασματική του αστρονομία. Στον Τίμαιο ανεκάλυψα τις νύξεις για τα Πυθαγορικά τριπλά και για τη λοξότητα της εκλειπτικής του Ευδόξου (και η μεγάλη αρμονία του Πλάτωνος δίνει δύο κλίμακες στην αράχνη, τη μουσική και τη γεωμετρική αρμονική κλίμακα για τις γωνιακές μετρήσεις). Ο Πλάτων όμως στον Τίμαιο 37 c χρησιμοποιεί τον όρο άγαλμα για τη σχέση μεταξύ της «ψυχής του κόσμου» και των πλανητών, και έχω δείξει αλλού (Plato’s Agalma of the Eternal Gods, «Yearbook of the Philosophical Society of Finland» 1969) ότι ο όρος άγαλμα είναι βαρυσήμαντη φιλοσοφική μεταφορά στον Πλάτωνα, εξαιρετικά πρόσφορη να περιγράψη τη σχέση μεταξύ των «αιωνίων» και «προσκαίρων» χρονικών οντοτήτων. Το «άγαλμα» στα χέρια του Πλάτωνος από θρησκευτική έγινε φιλοσοφική έννοια. Διατήρησε όμως μερικές από τις αρχικές θρησκευτικές αποχρώσεις της. Το «άγαλμα» στον Τίμαιο 37c είναι : 1) εικόνα του παραδείγματός του, και ο Δημιουργός προσπαθεί να το κάνη ακόμα ομοιότερο στο αρχέτυπό του, 2) κινούμενο και έμψυχο, 3) αντικείμενο χαράς του Δημιουργού του, και 4) φαίνεται να λειτουργή όπως τα λατρευτικά αγάλματα, στα οποία υποτίθεται ότι μετέχουν οι θεότητες τουλάχιστον σε στιγμές εξάρσεως της λατρείας. Στην πνευματική αυτήν ατμόσφαιρα παρουσίασε ο Εύδοξος ένα γεωμετρικό πρότυπο που «έσωζε τα φαινόμενα», αλλά σε ανταπόκριση με την πραγματικότητα μόνο σε δεδομένους χρόνους. Όπως τόσοι μεταγενέστεροι μαθηματικοί ο Εύδοξος δημιούργησε ένα ορατό πρότυπο, που η ευρετική (μεθοδολογική) αξία του έγκειται ακριβώς στο γεγονός, ότι οτιδήποτε γίνεται με το πρότυπο εξυπακούει επί μέρους λύσεις σε προβλήματα, που ανακαλύπτονται στην πραγματικότητα. Δεν είναι το ίδιο αιώνιο ιδανικό, στο οποίο επίσης σκόπευαν φιλόσοφοι όπως ο Leibniz και ο Wittgenstein με τις προσκολλημένες στον «σημαντικό» ατομισμό θεωρίες τους;

Επετηρίδα

Εύδοξος
Ιστορία της Φιλοσοφίας
Φυσικός Νόμος


1974

Text

Greek
English



*Institutions are responsible for keeping their URLs functional (digital file, item page in repository site)